Et = n・R・T　　Et：熱エネルギ、n：モル数、R：気体定数、T：温度

（1.2）

　体積が定まらないと言う事は逆に、膨張すればこの熱エネルギで外に対して仕事が出来る。
これは熱力学的な見方である。
一方、質量や体積を持つ固体や液体は溶鉱炉のような余程の高温でなければ日常的には熱エネルギを蓄えていると見なさなくとも実害は無い。
これは機構力学や流体力学的な見方である。
固体、液体は自律で体積が決まっているので静止している限りは外に対して仕事は出来ないが、例えば砲弾や高圧洗浄機のように物質に速度を与えることで速度（運動）エネルギを蓄えさせると仕事が出来る。
また固体であってもバネはその形状を成している実体部分の体積は変わらないが、両端間の距離が変化=伸縮するので見かけの体積（密度）が変化する物質と見なす事が出来る。
物理機能モデルでは固体もバネ剛性を持っており、伸縮しながら体積が変化する事によって外に対して仕事が出来るという見方をすれば、気体と同じ扱いが出来る。
タイヤはジャッキにもなると言う事である。

Ev = 1/2 m・v2　　Ev：速度（運動）エネルギ、m：質量、v：バネ端部速度	（1.3）
Ef = 1/2 H・f2　　Ef：力（変形）エネルギ、H：柔性、f：バネ復元力	（1.4）
E = Ev + Ef = const.	（1.5）

　上式は力学の双対性を現し、式（1.5）は対になったエネルギの和は常に一定となる事からエネルギ保存則と呼べる。
また、物質を実体があるか無いかは別にして両端間の距離＝長さを持つ空間と見なす事が出来る。
気体が漂っている空間とは真空の中に無数の分子という実体が存在している状態と言う見方が出来る。
気体が漂っていない真空の宇宙空間には無数の天体という実体が存在していると言う見方も出来る。Fig.15参照
こうした見方をすると、空間は入れ子状となって伸縮すると言える。
この状態は数学的には自己相似＝フラクタルと呼ばれ、部分の構造が全体の構造と相似の関係にある。補足資料5参照

Fig.15.

熱エネルギEt = 4×8.314×293.15（k）= 9749.00（J）

　これを最初に物理機能モデルに供給する必要があり、方法を補足資料9に示す。
この操作は万有引力（重力）が働く地球上で物質（バネ）の上端を固定して高さh（m）に吊り下げる事に相当する。
この時、バネの自由長は伸び、物質内部には復元力が生じ、力エネルギを蓄え、高さhとは重心の位置である。
逆に言えば、物質を柔らかいと見なす場合、力エネルギとは地球と物質の位置によって決まる位置(ポテンシャル)エネルギと言える。

　以上のように、物質は伸縮する事で熱エネルギEtは力エネルギEfと相互に変換可能となり、熱エネルギEtを蓄えたnモルの気体分子が物理機能モデル＝バネ上に表現される。
逆に言えば、力エネルギEfが蓄えられるには物質は運動するだけではなく振動、それもスピン（自転）では無く、伸縮が必要になり、物質は質量mと柔性Hを共有していなければならない。
これが冒頭のFig.1で述べた、物質は点では無く完全剛体でも無い、の意味である。
スピンの場合、スピンに角速度があるとするならば直進運動と同じく質量mに蓄えられるエネルギは速度エネルギEvゆえ、力エネルギEfは生まれないので、式(1.5)＝エネルギ保存則は成り立たない。

　なお、理想気体では通常、内部エネルギUと呼んで以下のように示されている、
　　　　　　　　　　　　　　

単原子気体の場合：U = 3/2n・R・T	（1.6）
二原子気体の場合：U = 5/2n・R・T	（1.7）

U = 分子の運動エネルギEk + 分子間力によるポテンシャルエネルギEp

U = Σ(1/2m・v2 + ϵ内) + Σ(Ep)

（1.8）

ϵ内：H2 、 N2等の2原子分子やH2 Oのような多原子分子の自転，または分子間距離の伸縮による振動運動で生じる。

　ここであらためてエネルギについて理想気体と物理機能モデルで扱う実在気体の見方の違いを以下に整理しておく。

理想気体	実在気体＝物理機能モデル

エネルギU

運動エネルギEk = (1/2 m・v2 ＋ ϵ内) ＋ ポテンシャルエネルギEp

エネルギE

運動エネルギEv = 1/2 m・v2 ＋ 力エネルギEf = 1/2 H・f2 ＋ 熱エネルギEt = P・V = n・R・T

・分子を大きさを持たない質点と見なしているのに "分子間距離" を持ち出している

・分子は点、完全剛体とは見なさず伸縮する。 ・力エネルギは位置(ポテンシャル)エネルギと言える。

　次に一般力学と熱力学に於ける物理特性、物理量、エネルギを対比させると以下の表1になる。

表1	一般力学 固体 液体	熱力学 気体
物理特性	質量m（Kg） 柔性H（Nm-1） 比熱C（JKg-1k-1） XXX-1	モル数n（mol） 気体定数R（Jmol-1k-1） 定圧モル比熱Cp（Jmol-1k-1） 定積モル比熱Cv（Jmol-1k-1）

物理量	外延量 速度v（ms-1） 体積流量L（ls-1） 質量流量M（Kgs-1） モル流量N （mols-1） 内包量 力F（N） 圧力P（Nm-2） 温度T

単位時間当たりエネルギ＝パワ	F・v（Nm-1）or（Js-1）	P・L（Nm-1）or（Js-1）
流入・流出エネルギ	F・∫vdt = F・d（Nm）or（J）	P・∫Ldt = P・V（Nm）or（J）

蓄積 エネルギ

外延エネルギ 運動エネルギEv = 1/2m・v2（Nm）or（J） 内包エネルギ 変形エネルギEf = 1/2H・F2（Nm）or（J） 熱エネルギEt = m・C・T（J） 熱エネルギEt = n・R・T =n・(Cp-Cv)・T（J）

注：∫vdt=変位d（m）、∫Ldt=体積V（m³）

なお、外延量と内包量については補足資料3を参照

ここで、エネルギ保存則は次の式で表す事も出来る。

外延エネルギ + 内包エネルギ = const.

（1.9）

単位時間当たりエネルギ＝パワの式の形は外延量×内包量である。

・固体、液体の場合：F・v
・気体の場合　　　：P・L

外部からの流入流出エネルギの式の形は外延量を時間積分した形である。

・固体、液体の場合：F・d
・気体の場合　　　：P・V

蓄積エネルギについては以下の関係がある。

・固体、液体の場合：熱エネルギEt：m・C・Tと変形エネルギEf は相互に変換可能（内包エネルギ同士）
・気体の場合　　　：熱エネルギEt：n・R・Tと変形エネルギEf は相互に変換可能（内包エネルギ同士）

エネルギ保存則という視点で見れば、ニュートン、フック、ボイル、シャルルの各法則は全て同じ意味合いである。

固体、液体の場合：熱エネルギEt = m・C・T

（1.10）

気体の場合　　　：熱エネルギEt = n ・R・T

（1.2）

　ここで固体、液体、気体に関わらず原子1個（量子）を考えた場合、原子の質量mと比熱Cは反比例の関係にあり、両者の積は常に一定となる。
従って式（1.10）の m・C は定数である。
一方、式　（1.2）の n・R も定数である。（モル数nに応じてアボガドロ数＝6.22×10²³の整数倍となる）
従って、固体、液体、気体を問わず、物質が蓄える熱エネルギは元素に依存せず温度Tだけで決まる量と言える。
これは1900年にプランクが示した黒体輻射に於ける光のスペクトル分布の公式においても同様である。
これらを整理すると以下の表になる。

容積変化を伴う場合の熱エネルギ

バネ 気体

質量mと比熱Cの積は一定

柔性Hに依存しない　Fig.4～6参照 気体定数Rは一定

　ここから、気体定数Rと柔性Hは共通の性質があると言う見方が出来る。
原子の質量mと、比熱C、柔性Hの関係については既研究ノート　力学の双対性から見たプランク定数で考察しているので参照されたい。

　次に、気体分子を伸縮するバネと見なした場合、外に対する仕事＝エネルギは復元力fによって成される事になる。
そのエネルギは、

変形エネルギEf = 1/2 H・f2

（1.4）

フックの変形の法則： f = k・d = d / H　k：剛性 = 1 / H　d：変形量　から以下のように書き換えられる。

変形エネルギEf = 1/2 d2 / H

（1.11）

例えば、

Ef = 0.5、H = 1とした場合、式(1.4) からf = 1、 式(1.11) からd = 1 となる。
Ef = 0.5、H = 2とした場合、式(1.4) からf = √0.5 、 式(1.11) からd = √2となる。

　つまり、同じ変形エネルギEfの値に対して、f、H、d　はフックの法則が成り立つバネなら無数の組み合わせが存在する。
これは、熱エネルギは m・C と温度Tによって一意に定まるが、変形エネルギEfの内訳は定まらないと言う事である。
その理由は、表1に示したように物質をバネと見なすと運動エネルギEvと対にならざるを得ないからである。
つまり、変形エネルギEfと運動エネルギEvはお互いに相手があって初めて成り立つものなのである。
これが、式（1.3）、（1.4）、（1.5）の意味する所である。　補足資料1を参照頂きたい。

　ここで、補足資料3で示したルールをあらためて以下に示す。

・外延量：速度V、運動エネルギEv等、人間が外から直接操作出来る量である。
・内包量：力 F 、　変形エネルギEf等、物質内部に生じ、人間が関与できない量である。
・但し、内包量のうち熱エネルギEtだけは例外で、加熱、冷却のように人間が外から直接操作出来る。

　現実的には力Fは忽然と物質内に生じる訳では無く、バネを縮める時に与えた速度vが原因である。Fig.16参照
普通、人間はバネに力を加えたと言う見方をするが、力学的には加えたのは速度であり、バネは復元力Fを人間に返した＝反力を返したと言った方が正しい。
つまり、人間が反力を感じる事が出来るのは筋肉も柔性を持ったバネだからである。
一方、バネに熱エネルギEtを蓄えさせるには速度を印加するのではなく、Fig.4～6で示したように等価な力を印加するのである。
万物をバネと見なす場合、こうしたルールが存在するのである。

Fig.16

・理想気体ではボイル・シャルルの式　P・V = n・R・T　(1.1)が成り立つ。
・物理機能モデルでは前述の式　Ev + Ef = const.　(1.5)が成り立つ。

これは気体の分子（物質）を点、完全剛体と見なしても、大きさ、および柔性を持つと見なしても、どちらでもエネルギ保存則は成り立つと言える。
物質を伸縮するバネと見なせばエネルギは、速度エネルギEvと力エネルギEfに分配されると言う事である。
気体についてのボイル・シャルルの法則も物理機能モデルも課題に応じて使い分ければ良いと言える。

・速度（運動）エネルギは質量mに、力（変形）エネルギは柔性Hに蓄えられる。
・速度V(外延量)と力F(内包量)はお互いが原因にも結果にもなる＝因果関係が双方向である。
・質量mと柔性Hは切り分けられない。^*1
・ニュートンの運動の法則とフックの変形の法則は切り分けられない。
・物質の運動と変形＝伸縮は切り分けられない。
・電磁気学では双対性がクーロン、アンペア、ファラデー、マックスウェルの諸法則で1800年代には認識されている。
・力学のニュートン、フックの法則が電磁気学の諸法則と相似になっている事を補足資料に示す。

^*1：素粒子物理学では1964年に存在が予言された、物質に質量を与える役目を担う素粒子＝ヒッグス粒子が2012年に発見されている。
これは質量mだけでなく柔性Hを与える役目も担っていると言える。

　ここで、机上実験の結果を用いて、それが電磁気学の何に相当するかを述べる。
まず、case1：圧縮膨張のケースである。
ここでは気体（物質）の一端に速度変化を与え、他端は固定して圧縮膨張(バネの圧縮引張と同じ)させる。
補足資料3、およびFig.16で示したように、物質に外部から操作出来るのは速度V(外延量)だけである。
供給する機械パワ（Js^-1）を用いて温度変化が計算される。
これは電磁気学で言えばコンデンサに電圧(電位差)を印加すると静電エネルギを蓄える事に相当する。

　次に、case2：加給除給のケースである。
容積一定の中に外部から加給除給するという事は熱エネルギを蓄えた気体（物質）の質量（モル数）を増減させる事であり、電車の中に体温を持った人間を詰め込むのと同じである。
容器＝気体（物質）の両端は固定しているので速度V(外延量)の形で印加する事が出来ない。
補足資料3で示したように、物質に外部から操作出来る例外として加熱、冷却のように熱エネルギがある。
ここでは容器内の気体の圧力を直接変化させる事は出来ないので、代わりに操作量を時間当たり体積L (m³/s)とし、 P・V = n・R・Tに因って決まるモル数と比熱から熱エネルギ（J）の形で供給する。
Fig.4～6で示したように熱エネルギを等価な力で印加する方法を取る。
供給する加給パワ（Js^-1）を用いて物質の温度変化が計算される。
これは電磁気学で言えばコイルに電流を流すと電磁エネルギを蓄える事に相当する。

　次に、case3、及びcase4：加熱のケースである。
ここでは外部から気体の温度を直接操作するのではなく、操作量を熱パワ（Js^-1）としてエネルギを供給する。
手順はcase2と同様に熱エネルギを等価な力で印加する方法を取る。
供給する熱パワ（Js^-1）から温度変化が計算される。
これも電磁気学で言えばコイルに電流を流すと電磁エネルギを蓄える事に相当する。

^*2：自動車のアイドリング・ストップ機構では再始動する際にバッテリの負担を減らすべく、最も少ないエネルギで済むようにエンジンの上死点、すなわち気体を圧縮して復元エネルギが最大の位置でピストンを停止させれば良い。
これはFig.17のように復元力Fが最大である斜面の頂上からブランコを始める事に相当する。

Fig.17

　この時間tの誤差は物質を完全剛体と見なさず伸縮するモデルである事から生じるもので、アインシュタインが一般相対性理論に於いて表現している "時空が曲る(伸縮する)" と同じ意味合いと言える。
あるいは、"地上とスカイツリーの最上階では時間の進み方が異なる" と同じ意味合いである。
言い換えると、物質を見かけの体積が変化するバネと見なす事は一般相対性理論の見方に通じる。
アインシュタインは物質の柔性には言及していないが、仮に伸縮するバネ上の座標から観察すると周囲の座標の方が伸縮しているように見える。
彼はこれを数学的にローレンツ変換を用いて表したものと言える。
これはニュートンの運動の法則では物質を大きさを持たない質点と仮定しているのに対し、アインシュタインは大きさ（空間）を持っていると同時に、完全剛体ではなくバネのように伸縮するという見方、すなわちフックの変形の法則も頭の中には有ったのではないだろうか？
分子を大きさを持たず、伸縮しない完全剛体と仮定する理想気体はニュートンが前提とする質点と同じと言える。
なお、空間の考え方については既研究ノート　重力発現モデルで考察しているので参照されたい。

　万有引力は物質の柔性に応じて物質内部に生じる復元力と釣り合っている＝フックの変形の法則。
同時に復元力は質量=質点（重心）に作用して物質の両端に速度差が生じる＝ニュートンの運動の法則。
この双方向の因果関係によって物質＝空間は伸縮しながら運動する事になる。
Fig.15に示したように、この見方は自己相似＝フラクタルの性質から量子～分子～天体まで適応出来ると言える。

　筆者は量子から天体に至る空間の内部では万有引力＝近接作用により、分子はお互いに伸縮しながら "居場所＝スタンス" を持っていると言う仕組みを考えた。
そして電磁気学の電場、磁場に倣って重力場、バネ場と表現し、Fig.18に示した。
仮にお互いの質量m、柔性Hに相対差があれば各々の "スタンス" は移動する。(下段)
これは社会の中で個々の人間がお互いにソーシャルディスタンスを保とうとする働きに似ている。
これがアインシュタインが一般相対性理論で表現した時空の曲がり＝伸縮と言える。

Fig.18

^*3：量子力学で言われている不確定性原理、 "位置と運動量は同時に確定出来ない"　と同じ意味合いと言える。
位置とは速度vの積分量であり、物質の変形量でもある。
運動量m・vを速度vで積分すれば　1/2 m・v² = エネルギ（但し、これは速度エネルギ）である。

^*4：量子力学では電子をスピンしながら運動するモデルとして表現しており、そのスピンの向きは定まらないものとして確率の概念を導入している。(アインシュタインは終生、これに異議を唱え、決定論の立場を取った)
但し、近年、スピンの向きを制御して揃える方法が確立され、量子コンピュータの原理に応用されている。
これは上記で圧縮操作を開始する時刻t＝伸縮のタイミングを定めれば結果は再現性があると言う事と同じである。
また、Fig.17でブランコを始める際に復元力Fが最大となる斜面の頂上から始めれば漕ぐエネルギを節約できる＝効率が良いのと同じである。

^*5：電子同士はお互いに重ならない=パウリの排他原理
この詳細については既研究ノート　パウリの排他原理のモデル化を参照されたい。