既研究ノートに於ける塑性破壊モデルは物質をn連バネ列として表し、一端固定で自由振動させるものであった。 振動＝伸縮させるためのエネルギは物質の質量m、比熱Cp、温度Tによって決まる熱エネルギである。 塑性域に入れるにはバネの復元力が降伏点に相当する閾値＝限界力Fvを超えるように設定し、伸縮の初回から塑性変形を起こさせて最終的に寿命に達する＝破壊する。 これは、計算試行毎に同じ結果が得られるモデルである。 一端固定という条件は機械工学の分野では一般的なもので、それは機械全般は剛体と見なせる＝動かない部材とバネのように弾性変形を許す部材の組み合わせで機能するからである。 中にはロケットのように空中を飛翔する物体もあるが、基本的にはロケットを構成する機械要素は必ず何処かに固定されている。 　例えば、国際宇宙ステーション内でSLINKYのようなバネを使って実験を行う場合、無重力空間でどこにも固定されずに浮遊、静止しながら伸縮する物質となる。 こうした環境におけるバネは全体としては静止しているが、バネ内部では疎密が変化して揺れており、それをも静止させるには絶対零度下に置く必要がある。 逆に言えば、机上でモデル化してもエネルギを印加しなければ疎密＝伸縮は始まらない。 方法としては仮想的にn連バネの各端部に速度を印加する＝励起させる事になる。 ここでSLINKYのように左右両端がある直線状のバネでは速度を印加するとバネ全体が移動を始めてしまう。 従って、静止して伸縮するバネを実現するにはn連の各ばね端部の速度の和がゼロになるようにしなければならない。 方法としてはFig.2に示すようにn連バネの両端を繋いで環状のバネとする。 　次に印加する速度だが、n個のバネ各々に同じ速度を印加したのでは打ち消し合って伸縮は起きない。 従って、各々のバネに異なる速度を印加する事になる。 ここで問題になるのは、1個のバネ単体の自由振動は数学的に線形＝正弦波だが、2連以上では非線形バネとなる事である。 この非線形システムは初期状態＝初期値によって挙動が大きく変わる性質を持ち、初期値鋭敏性と呼ばれる。 この為、各バネに印加する速度の組み合わせ方に因って結果が大きく変わる事になる。 現実界では1個のバネ単体の機械～システムは有り得ず、必ず複数の剛性～弾性をもつバネの連鎖と見なせるから、非整形システムしか存在しないと言える。 従って、理論的にはどんなシステムも運転初期状態に因って異なった振る舞いをしている事になる。 しかしながら、この性質が顕著になるのは相対的に質量が巨大か、弾性変形量が大きい＝柔性が大きい場合に限られる。 一般的に変形量が大きく、歪んでしまったら機械として望まれる機能を果たす事ができない。 従って実用的な機械は初期条件の違いに因らず、機能は安定していると見なしていると言った方が良い。 本報では非線形バネの初期値鋭敏性を利用して様々な挙動を発現させ、そこから塑性変形がどのように進展するかを観察したい。 そこで、各バネに印加する速度の初期値をランダムに設定したいので統計、確率を含むモデルが必要になるという事である。 手順としては疑似乱数を用いて印加速度の初期値を与える。

本報のn連バネは4連とし、各バネの質量m、柔性H、長さLは同一である。 ここで、各バネに蓄えられるエネルギは以下の通りである。 　物質全般は絶対零度以上の温度にあるとき、熱エネルギを蓄え、かつ伸縮している。 *1 まず、伸縮している物質の力学的エネルギEは以下のように定義される。 Ev = 1/2 m・v2　　 Ev：速度（運動）エネルギ、m：質量、v：バネ端部速度　　　　　　　　　　　　　　 （1.1） Ef = 1/2 H・f2　 Ef：力（変形）エネルギ、H：柔性、f：バネ復元力　　　　　　　　　　　　　　　　 （1.2） E = Ev + Ef = const. （1.3） 上式は力学の双対性を現し、式（1.3）は対になったエネルギの和は常に一定となる事から、伸縮する物質に限ったエネルギ保存則と呼べる。補足資料1参照 *1：ド・ブロイの物質波と言え、物質全般はバネと見なす事が出来る。 　4連のバネが絶対零度下にあればエネルギ=0 であるから伸縮は起きないが、設定した温度の熱エネルギと等価になるように4個のバネにランダムな速度を初期値として与える。 これにより計算初回から伸縮を始めるが、式（1.3）に従って4連バネが蓄えるエネルギは時間に無関係に一定である。 この状態は個々のバネは同じ諸元を持ちながら異なるモードで伸縮し、全体としてはエネルギのバランスが保たれている。 物理学的にはこれを対称性があると呼ぶ。 しかしながら、個々のバネに印加する速度の初期値は試行毎にランダムである。 非線形システムは初期値鋭敏性を持っているので、時間の経過につれてある時刻でいずれかのバネの振幅や周期が突出する場合があり、これを対称性が破れると表現している。 数学的にはこれを、対称性が破れる確率はゼロではないと表現する場合がある。 　本報の机上実験では塑性域に入るように限界力Fvの閾値を設定する。 この時、個々のバネの復元力が閾値を超えるまでに余裕があるように見えてもピーク値は変動しており、時間が無限に経過すれば或るバネが突出して閾値を超える可能性はゼロとは言い切れないという事である。 そして、一度バランスが崩れると残されたバネが次々と連鎖的に塑性域に入り、最終的に全バネが寿命に達する＝システム崩壊に至るという事である。 　このような机上実験になる事から、計算試行毎に結果は異なる。 各物理量の時系列波形を観察、整理、ケース分類を行うと、塑性破壊の連鎖によって寿命に達する＝崩壊に至る予兆を捉える事が出来る筈である。 　前述のように塑性域に入れるという操作は人為的に対称性を破ると言う言い方も出来る。 対称性の破れとは必ずしも人為的な操作だけでなく、システムが置かれている環境変化もトリガーと成り得る。 例えば、外気温やシステム自身の発熱に因る温度変化が挙げられる。 既研究ノート、力学の双対性から見たプランクの公式の解釈 では原子単体の柔性は温度と反比例の関係にある、という知見が得られており、温度変化に因りバネの振動モードは複雑に遷移する事が予想される。 本報では、まずバネの質量、及び柔性という特性値を基に基本的な様相を把握したいので、温度一定の条件とする事にした。 机上実験 ●浮遊、静止しながら伸縮する物理機能モデル 　Fig.2にモデル図を示す。 なお、既研究ノート、浮遊する柔らかい物質の振動解析で用いているモデルは移動を許す柱状のバネモデルである。 下図は左端と右端の速度、及び力端子が結線されている点が異なり、これにより環状のバネが表現される。 Fig.2 ●パラメータ バネ単体 ・質量m：1.0e−3（kg） ・柔性H：1.0e−4（mN−1） ・自由長L：0.1 (m)　(伸縮無し＝熱エネルギゼロ時) ・外径Φ：0.04（m） ・比熱Cp：449.5（JKg-1k-1）　（鉄の比熱） ・環境温度＝バネ初期温度：1°（k） ・重力：0（N）＝無重力 ●試験条件 ・塑性変形突入閾値＝限界力Fvは110（N）に設定する。 ・サンプリング時間：0.05msec ・観測時間：1秒間 ●結果 Fig.3-1～3-5は各物理量の時系列波形であり、塑性域に入ってから寿命に達するまでの5つのケースを示す。 なお、左上：バネが蓄えているエネルギは以下の二つに分けている。 　・絶対エネルギ＝バネ外部の座標から観測：緑破線（バネ全体の移動速度に応じて変化） 　・相対エネルギ＝バネ自身の座標から観測：緑実線（バネ全体の移動速度が変化しても不変） また、右上：塑性変形散逸エネルギの凡例はバネ1：赤、2：黄、3：緑、4：水色 Fig.3-1　ケース1 ・観測1秒間では塑性域に突入するバネが無かったケースである。 Fig.3-2　ケース2 ・左上：相対、絶対両エネルギ共に塑性域に入ると減少＝予兆が見られる。 ・左中：バネ温度。 ・左下：バネ温度変動幅　塑性エネルギ散逸に因るパルス様の温度上昇が現れる。 ・右上：塑性変形散逸エネルギ　バネ2、4がほぼ同時に塑性域に入るが、増加せず寿命に達しない。 ・右中：バネ全長 ・右下：バネ全長変動幅は塑性域に入ると減少＝予兆が見られる。 Fig.3-3　ケース3 ・右上：バネ4と2がほぼ同時に塑性域に入り、バネ2は4に遅れて寿命に達するが、バネ1、3は塑性域に入らない。 ・予兆としてのエネルギの減少代は絶対より相対の方が大きく現れる。 Fig.3-4　ケース4 ・右上：バネ1、3がほぼ同時に塑性域に入って寿命に達し、遅れてバネ2、4が一気に寿命に達する。 Fig.3-5　ケース5 ・右上：予兆を観測してから短時間に全てのバネが一気に寿命に達するケース＝最悪。 観察結果をまとめると、 ・予兆はあるが、その後に塑性変形が進行するケースと進行しないケースがある。 ・一部のバネが寿命に達しても、残りのバネに連鎖しないケースがある。 ・全てのバネが一気に寿命に達するケースがある。 もくじへ戻る 考察 ●予兆は物質のエネルギの減少として現れる 　これは塑性抵抗発現に因るエネルギの消費＝散逸が起こるからである。 散逸したエネルギは同時にバネの温度をパルス様に上昇させる。 塑性変形が進行すれば相対エネルギの減少は続くが、急速に進行する場合は予兆を把握してから次のアクションが間に合わないケースも起こり得ると解釈できる。 なお、相対エネルギの方が絶対エネルギより変化代が大きく観測される理由は、相対エネルギはバネ両端の相対速度、及び相対復元力から計算されるゆえ、隣のバネの影響を受けない為と考えられる。 しかしながら、相対、絶対両エネルギはモデル上では逐次計算出来るが、現実界ではエネルギを直接観測する事は出来ない。 従って、予兆を捉えるにはエネルギと相関の有る物理量に代替させる必要がある。 ●エネルギ観測の代替になるのは物質全長の変化 　Fig.3-1～3-5で示したように、相対エネルギ減少の様相を投影しているのはバネ全長の変動幅である。 これは現実界では地震予知の方法として地形の変化＋地殻の歪の観測に応用されている。 4連バネの全長は常に伸縮～変動しているが、4個のバネのいずれかが塑性変形を起こせば、4連バネ全長の減少として現れると言う事である。 ・4連バネ全長を観測する→いつ塑性変形が起きたか把握＝広範囲な地形の変化をGPSで観測。 ・4個のバネ単独の長さを観測する→どのバネが塑性域に入ったか特定＝地形を分割して個々の地殻の歪を観測。 ●予兆観測に使えそうな他の物理量 　Fig.3-1～3-5で示したように、バネ全長の観測以外に有効なのはパルス様の温度変化と言える。 これは伸縮に同期してバネの復元力が限界力Fvを超えようとする度に起こるものである。 従って、通常の温度計ではなく、熱輻射＝電磁波として観測できる設備が必要と考えられる。 ●システム設計の事例 　次に塑性域に入らないようなシステムを設計するに当たり、塑性域に入ってしまう確率を分析した結果を示す。 Fig.4に限界力Fvの刻みを15（N）とし、110（N）から170（N）まで5水準に取り、観測時間を1秒間として試行を100回繰り返した時に塑性域に入ってしまう確率を示す。 x軸：限界力Fv（N）、y軸：確率（%）である。 現実的には確率とコストは反比例の関係にあり、確率=0を目指そうとすると壁に当たってしまう。 従って予兆観察と組み合わせて、ある確率で塑性域に入ってしまうリスクを許容するのが現実的と言える。 Fig.4 ・凡例は以下の通り。 　赤：4個中のどれか1つのバネが塑性域に入る確率 　黄：4個中のどれか1つのバネが寿命に達する確率 　緑：4個全てのバネが寿命に達する確率 ・限界力Fv（N）の増大と供に確率は低下して行く。 ●リスクコントロール 　次に予兆を捉えてからシステムが全破壊しないように運転を停止する事を前提に、リスクを分析した結果を示す。 Fig.5に予兆＝最初の塑性域突入からいずれか1個のバネが寿命に達するまでの所用時間（s）＝予兆から最初の部分破壊に至るまでの余裕を示す。 この時間はバラツキを持つので、5水準の限界力毎に所要時間のヒストグラムを並べたものである。 x軸：時間0～1.0（s）、y軸：頻度（%）である。 ここで判るのは、所要時間の最小～最大～その幅＝分布の様相は限界力Fvとは相関が見られないと言う事である。 注目すべきは、Fvの大小に関わらず最初の塑性域突入から短時間に寿命に達してしまうケースが存在するのである。（白矢印） 予兆が捉えられたとしても寿命に達するまでのアクションが間に合わないケースがあり得ると言える。 Fig.5 　Fig.6に予兆＝最初の塑性域突入から全てのバネが寿命に達するまでの所用時間（s）＝予兆から全破壊に至るまでの余裕。を示す。 限界力Fvが140（N）以上では全バネが寿命に達するケースは無かったので、110～125（N）に於ける結果である。 ここでも最初の塑性域突入観測から短時間に全破壊に至るケースが30～40％はある事が判る。（白矢印） Fig.5～6から、システムの全破壊を未然に防ぐには予兆観測から間髪を入れずに運転を中止し、可能ならば各要素に生じた永久歪量を計測して余寿命を推定する事が望まれる。 Fig.6 ●市場経済崩壊の解釈 　先に対称性について触れたが、地球上の人類を考えればその諸元は千差万別と言える。 様々な理性、感性を持つ人間が社会を形成し、対称性は無いがバランスを保とうとしている。 企業、投資家、消費者、為政者をn連バネに喩えれば社会システムとして捉える事ができる。 n連バネモデルのようにエネルギは常に一定に保存されているとは言い難いが、人類はこのシステム無しには生存できない。 微小ながら塑性変形＝エネルギの散逸を許容しながらも回っているシステムと言える。 机上実験では塑性域に入るように限界力Fvの閾値を設定した訳だが、現実界ではこれぐらいなら塑性域に入らないだろうという予測を立てている訳である。 塑性変形は突き詰めれば一企業人、一消費者、一為政者の判断によって起きていると言えるかもしれない。 もくじへ戻る まとめ ・ 既研究ノートの塑性破壊モデルに統計、確率を導入することで試行毎に結果が異なる机上実験を行い、以下の知見を得た。 ・ 塑性破壊に予兆はあるが、その後に塑性変形が進行するケースと進行しないケースがある。 ・ 一部のバネが寿命に達しても、残りのバネに連鎖しないケースがある。 ・ 全てのバネが一気に寿命に達するケースがある。 ・ 予兆は物質が蓄えているエネルギの減少として現れるが、現実界ではエネルギを観測する事が出来ない。 ・ 観測可能な手段は物質全長の減少を捉える事である。 ・ システムの全破壊を未然に防ぐには予兆観測から間髪を入れずに運転を中止する事である。 もくじへ戻る 脚注・参考文献 脚注： [1]：機械学会交通物流部門　連続講習会No.24-53　資料 　　"物体の柔性が粒子と波動性に及ぼす影響" 　五十川晋一　著　2024年　P15 参考文献： ・角田鎮男 ほか：製品開発のためのモデル化手法（展開と統合） 日本機械学会 [No.98 8] 　機械力学・計測制御講演論文集 98.8.17 20 ・札幌 ) ・機械の力学　長松昭男　著　朝倉書店刊　2007年 ・複合領域模擬のための電気・機械系の力学　長松昌男、長松昭男　共著　コロナ社刊　2013年 ・次世代のものづくりのための電気・機械一体化モデル　長松昌男　著　共立出版刊　2015年 ・機械学会交通物流部門　連続講習会No.12-5　資料 　"機械ｰ電気の統合モデルによるモデルベース開発"　角田鎮男　著　2021年 　"機械工学から見た相対性理論"　五十川晋一　著　2021年 ・機械学会交通物流部門　連続講習会No.22-80　資料 　"機械工学から見たブラックホール"　五十川晋一　著　2022年 ・機械学会交通物流部門　連続講習会No.24-53　資料 　"物質の柔性が粒子と波動性に及ぼす影響" 　五十川晋一　著　2024年 ・ホーキング、宇宙を語る―ビッグバンからブラックホールまで 　林一訳　ハヤカワ文庫NF 　1995年 ・タンパク質の音楽　深川洋一　著　ちくまプリマーブックス 　1999年 ・地殻破壊の前兆現象としての電磁放射の特性に関する研究　藤縄幸雄　著　1995年 ・研究ノート　物質破壊（崩壊）のモデル化　五十川晋一　著　2025年 ・研究ノート　力学の双対性から見たプランクの公式の解釈　五十川晋一　著　2026年 もくじへ戻る 関連エッセイ： 研究ノート　物質の柔性が粒子と波動性に及ぼす影響 研究ノート　力学の双対性から見たプランクの公式の解釈 研究ノート　ブラックホールのエネルギ輻射のモデル化 研究ノート　気体の物理機能モデル 研究ノート　電子レンジの物理モデル化 研究ノート　パウリの排他原理のモデル化 研究ノート　力学の双対性から見た超伝導現象 研究ノート　非線形振動は捉えどころが無い？ 研究ノート　浮遊する柔らかい物質の振動解析 研究ノート　重力発現モデル 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